D. Indeks for performance og dekomponering

I det følgende gennemgås de centrale beregninger i forbindelse med opgørelse og dekomponering af performance. Gennemgangen supplerer kapitel 13 om måling af performance.

Indeksberegning

Såvel den gamle som den nye performanceberegning baseres på et afkastindeks af følgende type:

Indekset er et såkaldt multiplikativt tidsvægtet indeks, jf. kapitel 13 om performance, hvor porteføljens afkast opgøres dagligt og multipliceres over tid for at give et indeks for afkastet over hele perioden. Indekset er robust over for penge ud og ind af porteføljen, jf. nedenfor. Det procentvise afkast r_t fra t-1 til t kan fra (1) omskrives til følgende udtryk:

 

Ud fra (2) kan det anskueliggøres, hvordan indeksberegningen fungerer ved at betragte følgende situationer:

• Hvis der ikke handles i nogen instrumenter, så er ΔN^s_t=T^s_t=0, og afkastet kommer udelukkende fra ændringer i dirtyprice og eventuelle kuponbetalinger på instrumentet i tilfælde af termin.
• Hvis ΔN^s_t=0, dvs. ingen ændring i nogen af de nominelle beholdninger, men T^s_{t ≠} 0, så er der købt og solgt i det samme papir i løbet af dagen, og bidraget til afkastet opstår, fordi priserne har ændret sig i løbet af dagen.
• Hvis ΔN^s_t¹_≠0 og T^s_t¹_≠0, så er de nominelle beholdninger ændret, og der opstår et afkastbidrag, hvis lukkeprisen P^S_t afviger fra de priser, instrumentet er købt eller solgt til i løbet af dagen. Dvs. rene nominelle ændringer i beholdningen fra tidspunkt t-1 til t slår ikke igennem på afkastindekset. Indekset er derfor robust over for beholdningsændringer over tid.
• Hvis hele beholdningen af et instrument s går ud af porteføljen, dvs. ΔN^s_t=-N^S_t-1, reduceres tælleren til -T ^S_t-N^S_t-1P^S_t-1 for det pågældende instrument. Tælleren er i dette tilfælde lig med provenuet fra salget fratrukket gårsdagens markedsværdi af beholdningen.
• Hvis der købes et nyt instrument til porteføljen, er tælleren lig N^S_tP^S_t-T^s_t, som er gevinsten fra købstidspunktet til lukketid.

Det sidste led i tælleren i (2) kan kaldes timing-effekten og er positivt, hvis dealeren har købt eller solgt på det rigtige tidspunkt i løbet af dagen.

Det er vigtigt at bemærke, at nævneren i (1) og (2) forudsætter, at ændringer i porteføljens størrelse i løbet af dag t ikke kan generere afkast samme dag, dvs. rente eller kursgevinst, og/eller at dealeren ikke har mulighed for at råde over porteføljeændringen før på tidspunkt t+1.

Dette illustreres lettest ved et eksempel. Antag at beholdningen fordobles fra 100 mio.kr. til 200 mio.kr fra tidspunkt t-1 til t. Nævneren er lig M_t-1=100 mio.kr. Hvis dealeren har mulighed for at investere beholdningsstigningen i løbet af dagen og generere et positivt afkast, fx som følge af en positiv kursudvikling, så vil dette afkast indgå i tælleren via størrelsen P^S_tΔN^S_t-T^S_t. Hvis dette er tilfældet, er nævneren for lav, idet porteføljens afkast er skabt af en investeret kapital større end de 100 mio.kr. på tidspunkt t-1, og porteføljens afkast overvurderes. For en detaljeret diskussion af denne problemstilling og løsninger heraf henvises til Kjeldsen (1996), jf. litteraturlisten til kapitel 13.

Dekomponering af afkast i direkte afkast og markedsudvikling

I det følgende ses der på en portefølje uden beholdningsbevægelser indeholdende 1 obligation af typen stående lån, dvs. hele obligationen afdrages på udløbstidspunktet. (2) kan reduceres til følgende formel (indekset s droppes foreløbigt, og det anføres eksplicit, at markedsværdien er lig med obligationens dirtyprice):

Afkastet kan skrives som ændringen i dirtyprice tillagt eventuelle kuponbetalinger C_t sat i forhold til gårsdagens dirtyprice. I det følgende fokuseres først på det absolutte afkast ΔV (opgjort i kroner) udtrykt som:

Dette afkast kan dekomponeres på forskellige måder. Indledningsvist kan det opdeles i:

• direkte afkast "carry", ΔV_direkte
• markedsudvikling, ΔV_marked

 ΔV_direkte defineres her som kuponbetalingen tillagt kursregulering som følge af løbetidsforkortelse.  ΔV_direkte kan skrives som:

 

Det første led er ændringen i vedhængende rente AI tillagt eventuelle terminsbetalinger C_t på dag t. Sidste led er ændringen i den teoretiske cleanprice P_tfra t-1 til t ved uændrede markedsvilkår, her benævnt løbetidsforkortelse. Dette led bestemmes ved at prisfastsætte obligationen på tidspunkt t og t-1 med fastholdte rentekurver og spænd via funktionen P^clean(M_t,t), hvor M_t repræsenterer det valgte input af markedsdata og t tidspunktet for prisfastsættelsen. Bemærk, at løbetidsforkortelsen er defineret, så den indeholder dels effekten, af at løbetiden reduceres, dels en mulig effekt af ændrede renter, hvis rentekurven ikke er flad (roll-down). Ved en stigende rentekurve og en obligation med kurs under par, vil såvel løbetidsreduktion, som roll-down betyde en højere kurs^[1].

Den del af afkastet, som kan henføres til markedsudviklingen, beregnes som forskellen mellem den teoretiske cleanprice på tidspunkt t og t-1 fratrukket effekten af løbetidsforkortelsen, dvs.:

Bemærk, at priserne i (5) er de observerede børskurser (ikke at forveksle med de teoretiske priser). At (4) + (5) summer op til (3), ses af følgende:

Detaljeret dekomponering af henholdsvis direkte afkast og markedsudvikling

Kuponbetalingen ΔV_kupon , løbetidsforkortelsen ΔV_{løbetidsforkortelse}og afkastet som følge af markedsudviklingen ΔV_markedkan opdeles i flere komponenter, jf. nedenfor.

Kuponbetalingen ΔV_kupon kan opdeles i:

• kupon ifølge den generelle rentestruktur ΔV _{rentestruktur, kupon}
• kupontillæg som følge af sektorspænd ΔV_{sektorspænd, kupon}
• kupontillæg som følge af papirspecifikt spænd ΔV_{papirspecifikt spænd, kupon}

Løbetidsforkortelsen ΔV_{løbetidsforkortelse} kan opdeles i:

• løbetidsforkortelsen langs den generelle rentestruktur ΔV_{rente­struktur, løbetidsforkortelse}
• tillæg som følge af løbetidsforkortelsen langs sektorkurven ΔV_{sektorspænd, løbetidsforkortelse}
• tillæg som følge af løbetidsforkortelse langs den papirspecifikke kurve ΔV_{papirspecifikt spænd, løbetidsforkortelse}

Markedsudvikling ΔV_marked kan opdeles i:

• bidrag fra parallelforskydning i den generelle rentestruktur, ΔV_{rentestruktur, parallelskifte}
• bidrag fra ændring i formen af den generelle rentestruktur, ΔV_{rentestruktur, ændring i form}
• bidrag fra udvikling i sektorspænd , ΔV_{sektorspænd, udvikling}
• bidrag fra udvikling i det obligationsspecifikke spænd, ΔV_{papirspecifikt spænd, udvikling}

Opdelingen af kuponbetalingen ΔV_kupon i en kupon ifølge en generel rentestruktur, fx statsrentekurven og efterfølgende kupontillæg på grund af henholdsvis et sektor- og et papirspecifikt spænd, sker på følgende måde: Først beregnes den kuponrente k_{rentestruktur, udledt} , der ved den gældende generelle rentestruktur sætter den teoretiske børskurs lig den observerede børskurs. Dvs. kuponrenten k_{rentestruktur, udledt} findes ved at løse følgende ligning:

Dernæst foretages beregningen endnu engang, nu blot med den relevante sektorkurve. Hvis der fx er tale om en erhvervsobligation, anvendes en rentestruktur for erhvervsobligationer med samme rating. Forskellen mellem de to beregnede kuponer er kupontillægget som følge af spændet mellem stats- og erhvervsobligationskurven:

Kupontillægget på grund af sektorspændet er oftest positivt og kan fortolkes som den ekstra kuponbetaling, investor skal have som kompensation for at investere i fx en erhvervsobligation med højere kreditrisiko frem for en statsobligation. Herudover vil erhvervsobligationen indeholde et papirspecifikt kupontillæg, idet obligationen aldrig i praksis handles på erhvervsobligationskurven. Dette papirspecifikke tillæg kan være positivt eller negativt og fx skyldes specielle forhold om virksomhedens rentabilitet eller en evt. likviditetspræmie på obligationen. Det papirspecifikke tillæg bestemmes residualt som:

hvor k er erhvervsobligationens faktiske kupon. De 2 kupontillæg og kuponen ifølge den generelle rentestruktur summerer pr. konstruktion op til den samlede kupon. Kuponbetalingen i alt og målt absolut kan derfor skrives som:

hvor de enkelte betalinger er beregnet ud fra de beregnede kuponer. Ud over kuponbetaling består det direkte afkast også af kursudvikling som følge af løbetidsforkortelse jf. (4). Løbetidsforkortelsen kan beregnes langs forskellige kurver. Udgangspunktet er igen en generel rentestruktur, fx statsnulkuponkurven. Kursudviklingen langs denne kurve beregnes som:

Bemærk, at den beregnede løbetidsforkortelse indeholder 2 effekter. For det første kommer obligationen tættere på udløb, for det andet diskonteres der med andre renter på kurven, hvis denne ikke er flad. Første effekt vil isoleret set skubbe prisen mod pari, mens effekten på prisen af ændrede diskonteringsrenter afhænger af rentekurvens form. Beregningen i (11) kan gentages med brug af en relevant sektorkurve, jf. ovenfor, og endeligt ved brug af en papirspecifik kurve. Den papirspecifikke kurve kan findes residualt ved at parallelforskyde sektorkurven, således at obligationen netop er prisfastsat på kurven. Løbetidsforkortelsen langs den papirspecifikke kurve er et estimat for obligationens sande kursudvikling som følge af løbetidsforkortelse og kan ligeledes skrives som en sum af 3 faktorer:

 

Nu resterer der kun at dekomponere markedsudviklingen ΔV_marked. Markedsudviklingen kan først skrives som, jf. (5) og (12) :

I (13) er markedsudviklingen delt op i henholdsvis den del, der kan forklares ved udviklingen i den generelle rentestruktur, den del, der kan forklares ved udviklingen i sektorspændet, og endeligt den del, der kan forklares ved udviklingen i det papirspecifikke spænd. Bemærk at de enkelte bidrag fra løbetidsforkortelse, jf. (12), fratrækkes i beregningen af bidragene fra markedsudviklingen, jf. at løbetidsforkortelse regnes ind under obligationens direkte afkast.

Effekten af udviklingen i den generelle rentestruktur,

ΔV_{rentestruktur, udvikling}kan opdeles yderligere i parallelforskydning og form:

Hvor P(M_t^parallel,t) er den teoretiske børskurs ved et parallelskifte i den generelle rentestruktur fra t-1 til t. Parallelforskydningen kan beregnes på flere måder. I boks 13.2 i kapitel 13 er der vist et eksempel, hvor kurven er parallelforskudt med den gennemsnitlige renteændring i det 2-, 5- og 10-årige segment fra tidspunkt t til t-1. ΔV_form beregnes endeligt residualt som forskellen mellem den teoretiske børskurs ved den faktiske rentekurve og ved den parallelforskudte kurve.

Den samlede dekomponering af afkastet kan alt i alt skrives som:

Skrevet som et relativt afkast får (15) følgende udseende:

Det samlede resultat af dekomponeringen er sat på tabelform og kommenteret yderligere i kapitel 13.

Dekomponeringen i (15) er additiv i de enkelte komponenter. Alternativt kan man anvende en multiplikativ dekomponering af afkastet. Ved en multiplikativ dekomponering fås i stedet et udtryk med følgende form (beregningerne gennemgås ikke nærmere her):

Dekomponering af samlet afkast og performance

Dekomponeringen af afkastet på den enkelte obligation kan nu anvendes til at dekomponere afkastet i den samlede portefølje. Det samlede afkast i kroner fra t-1 til t kan skrives som:

hvor ΔV nu er afkastet på hele porteføljen, og s henfører til de enkelte obligationer/instrumenter i porteføljen. (16) kan omskrives til et relativt afkast fra t-1 til t :

hvor ω_S nu er den vægtobligation s indgår med i porteføljen på tidspunkt t-1. Vægten beregnes som obligationens markedsværdiandel af porteføljen. Det relative afkast r på porteføljen kan altså beregnes som en sammenvægtning af de enkelte afkastkomponenter. Performance, P, dvs. forskellen mellem afkastet i den faktiske portefølje og i benchmarkporteføljen fra t-1 til t, kan beregnes som:

hvor Δω_S er forskellen mellem den vægt, hvormed instrument s indgår i henholdsvis den faktiske portefølje og benchmarkporteføljen. Performance fra t-1 til t kan med andre ord beregnes som et vægtet gennemsnit af afkastkomponenterne på de enkelte instrumenter. Performance opstår som følge af forskelle i de vægte, hvormed de enkelte instrumenter indgår i henholdsvis den faktiske portefølje og i benchmark. I (18) er timing-effekten endvidere tillagt for fuldstændighedens skyld, jf. (2). Denne opstår som tidligere nævnt ved gevinster/tab som følge af salg/køb i løbet af dagen.

Aggregering af delkomponenter over tid

Beregningerne ovenfor viser, hvordan det samlede afkast fra periode t-1 til t kan deles op i forskellige delkomponenter, som summerer op til periodens samlede afkast r_t. I målingen af performance er fokus imidlertid på afkastet over en længere periode, hvor afkastet måles via det tidsvægtede indeks. Det tidsvægtede indeks kan, jf. (1) skrives som:

I (1') multipliceres periodeafkastene over tid, hvorved afkastet over hele perioden, dvs. r_0,T fremkommer. Spørgsmålet er nu, om periodens samlede afkast kan dekomponeres på samme måde som enkeltperiodeafkastene. Enkeltperiodeafkastet fra t-1 til t kan fra (17') skrives som:

hvor rc^s,t_j er afkastkomponent j på obligation si periode t vægtet med obligationens porteføljeandel, dvs. rc^s,t_j =ω_Sr^s,t_j.

Et første bud på at dekomponere det samlede afkast over tid r_0,Tville være at summere delkomponenterne i (17') over hele perioden. Problemet er imidlertid, at det tidsvægtede indeks er konstrueret multiplikativt, hvorfor en simpel sum af delkomponenterne i (17') ikke adderer op til r_0,T. Dette problem kan løses ved at skalere de enkelte delkomponenter på følgende måde:

I (19) skaleres delkomponenterne fra hver periode t op med afkastindekset til og med den foregående periode, dvs. (1+r_0,t-1). Det kan vises, at følgende gælder:

hvor rc^0,T_j nu er det samlede afkastbidrag over perioden fra delkomponent j. Af (20) fremgår det, at det samlede afkast over hele perioden er en sum af de nye skalerede delkomponenter, som ligeledes kan summeres over perioden. Via skaleringen af de oprindelige afkastbidrag er det dermed lykkedes at skabe en dekomponering, som over tid summerer op til det samlede periodeafkast.

---