Forside -  Indhold -  Top/Bund -  Forrige/ Næste

"Statens låntagning og gæld 2000"

Kapitel 10
Cost-at-Risk

Sammenfatning 10.1

Statsgældens renterisiko styres via varighed og afdragsprofil, men disse giver ikke i sig selv grundlag for en vurdering af den risiko, som statsgælden giver anledning til. For at vurdere denne risiko anvendes Cost-at-Risk (CaR) analyser. Ved hjælp af CaR kvantificeres statens risiko ud fra skøn om den fremtidige renteudvikling. Dette giver et vigtigt input ved afvejningen af renterisiko og omkostninger.

I CaR-beregninger defineres risiko som risikoen for, at de årlige omkostninger på statsgælden stiger. Staten er eksponeret over for rente- og refinansieringsrisiko, da den fremtidige låntagning sker til ukendte renter. Dermed er de fremtidige omkostninger også ukendte. Et højt renteniveau i et givet år vil medføre relativt dyr refinansiering af statsgælden og dermed høje renteudgifter i de efterfølgende år.

I CaR-analysen genereres der rentescenarier, og der beregnes fremtidige omkostninger på den indenlandske statsgæld i hvert rentescenario. Ud fra disse beregninger kan der opstilles sandsynlighedsfordelinger for statens fremtidige renteomkostninger. Det giver mulighed for at vurdere renterisikoen på den indenlandske statsgæld.

Der vil i 2001 blive arbejdet med at videreudvikle CaR-modellen, så de øvrige dele af statsgælden kan håndteres. Desuden er der behov for at udvide modellen med opkøb. Det er endvidere målet at arbejde med renteinputtet i CaR, da dette er af afgørende betydning for resultaterne.

Den første del af kapitlet er i store træk identisk med kapitel 9 i Statens låntagning og gæld 1999. I forhold til CaR-modellen fra 1999, er der sket en udvidelse af tidshorisonten fra 5 til 10 år, og modellen inkluderer renteswaps i kroner. Den sidste del af kapitlet indeholder nye analyser af modellens renteinput.

Metode 10.2

Den primære risiko på den indenlandske statsgæld er uventede store renteudgifter. I CaR-modellen beregnes fremtidige renteomkostninger på den indenlandske statsgæld, og renterisikoen kvantificeres.

Udgangspunktet for CaR-beregningerne er oplysninger om den eksisterende gæld og statens forventede fremtidige budgetoverskud. Endvidere genereres der fremtidige rentescenarier. Ud fra disse input kan fremtidige omkostninger beregnes.

De fremtidige omkostninger på gælden afhænger i høj grad af den fremtidige renteudvikling. Generering af et stort antal rentescenarier giver mulighed for at opstille sandsynlighedsfordelinger for de fremtidige omkostninger. De forventede omkostninger i et givet år defineres som middelværdien af de fremtidige omkostninger. Absolut CaR angiver de maksimale omkostninger med 95 pct. sandsynlighed, mens relativ CaR er forskellen mellem absolut CaR og middelværdien, jf. boks 10.1.

Boks 10.1 CaR-definitioner

Tidshorisonten i beregningerne er valgt til at være 10 år. Der beregnes omkostninger for hvert år. En periode på 10 år giver indblik i risikoen på både kort og langt sigt.

Renteinputtet er en afgørende faktor i beregningen af CaR. Der findes mange rentemodeller, både teoretiske og empiriske. Her er der valgt en én-faktor-model, udviklet af Cox, Ingersoll og Ross, også kaldet CIR-modellen^[1]. Denne rentemodel indeholder den ønskede stokastik og er håndterbar i praksis.

Der genereres kvartalsvise fremtidige spotrenter, dvs. hvert rentescenario indeholder 40 spotrenter, svarende til en periode på 10 år. Metoden til generering af fremtidige spotrenter fremgår af boks 10.2. Der genereres i alt 2.500 scenarier for de fremtidige spotrenter.

Boks 10.2 Generering af spotrenter

Ud fra hver spotrente kan der udregnes en nulkuponrentekurve. Da der er 40 spotrenter i hvert rentescenario og 2.500 rentescenarier i alt, er CaR-beregningerne baseret på 100.000 rentekurver.

De øvrige datainput til CaR-modellen er information om den eksisterende gæld, dvs. periodiserede omkostninger og betalinger på gælden. Endvidere indgår antagelser om statens budgetoverskud før renter 10 år frem i tiden.

Endelig indgår forudsætninger om sammensætningen af låntagningen, fx at der udstedes 40-20-40 pct. af henholdsvis 2-, 5- og 10-årige statspapirer hvert år, og at udestående i skatkammerbevisprogrammet er konstant.

På baggrund af ovenstående input beregnes årlige omkostninger 10 år frem. Output fra beregningerne er således 2.500 forløb for fremtidige årlige omkostninger på den indenlandske gæld. Ud fra disse forløb beregnes middelværdien og 95 pct.-fraktilen af omkostningerne, og dermed absolut og relativ CaR.

10.3 Indenlandske renteswaps

Staten indførte i 1998 renteswaps i danske kroner som et nyt instrument i den indenlandske statsgældspolitik. Indgåelse af renteswaps, hvor der fx betales en variabel 6-måneders rente og modtages en fast 10-årig rente, betyder isoleret set, at varigheden på gælden mindskes. Dette skal ses i lyset af, at denne type renteswaps er et alternativ til kort låntagning. En lavere varighed på gælden resulterer i højere risiko, men lavere forventede renteomkostninger. For en nærmere gennemgang af indenlandske renteswaps henvises til Statens låntagning og gæld 1998, kapitel 8.

I modelleringen af renteswaps i CaR antages et fast spænd mellem nulkuponrentekurven og swaprentekurven. Swaprenten fastsættes således, at swappen har en værdi på nul på indgåelsestidspunktet. Metoden til beregning af swaprenten fremgår af boks 10.3.

Boks 10.3 Swaprenten

Swaprenten kan beregnes med følgende formel, jf. Statens låntagning og gæld 1998, side 99:

hvor c er swaprenten, d(0,t) er diskonteringsfaktoren mellem tidspunktet 0 og t, og t(i,F) er betalingstidspunktet for den i'te betaling på swappens faste ben ud af i alt f betalinger, t(f,F)=T.

Swaprenten bestemmes udelukkende af ovenstående diskonteringsfaktorer, og disse kan udregnes ved hjælp af swapkurven, som er kendt til tidspunkt 0. Der er i beregningerne antaget et fast spænd mellem nulkuponkurven og swapkurven.

Udestående i indenlandske renteswaps ultimo 2000 var 21 mia.kr. Figur 10.3.1 viser fordelingen af omkostningerne i 2001 med og uden de eksisterende renteswaps. Det ses, at omkostningsfordelingen med renteswaps har tykkere haler. Med andre ord er risikoen for at få ekstreme omkostninger større, end det er tilfældet uden renteswaps. Middelværdien er desuden lavere. Dette er et udtryk for, at de indgåede renteswaps har givet lavere låneomkostninger gennem lavere varighed, men til gengæld højere renterisiko.

Figur 10.3.1 Fordeling af omkostninger med og uden swaps i 2001

10.4 CaR for udvalgte lånestrategier

I det følgende gennemgås CaR-beregninger for fire forskellige lånestrategier. For alle lånestrategier er der antaget en fast fordeling af låntagningen på løbetidssegmenter fra 2001 til 2010. Der er antaget et konstant udestående i skatkammerbeviser og i renteswaps. Af tabel 10.4.1 fremgår fordelingen af låntagningen på løbetidssegmenter.

Tabel 10.4.1 Lånestrategier

Pct.	2-årige	5-årige	10-årige
Grundscenario	40	20	40
50-0-50 pct. lånevifte	50	0	50
100 pct. 2-årige	100	0	0
100 pct. 10-årige	0	0	100

I hver låntagningsstrategi anvendes det samme renteinput. Endvidere antages det, at overskuddet på statens budget før renteudgifter på den indenlandske gæld er det samme. Tallene er baseret på Finansministeriets mellemfristede budgetskøn og viser i gennemsnit et nettokasseoverskud på 24 mia.kr. pr. år.

Det fremgår af figur 10.4.1, at de forventede omkostninger for alle strategierne er faldende gennem perioden. Årsagen er de skønnede overskud på statens budget i den betragtede periode, der indebærer lavere finansieringsbehov og dermed faldende gæld. De forventede omkostninger i 2001 er omkring 41 mia.kr. for alle scenarierne.

Figur 10.4.1 Middelværdi for omkostninger

Omkostningerne er relativt konstante over for ændringer i låneviften på kort sigt (2001 og 2002). Forskellen mellem lånestrategierne bliver tydeligere over tid, da virkningerne akkumuleres. Dette afspejler, at det tager tid at ændre gældens risikoprofil, når udgangspunktet er gæld, der er jævnt fordelt på løbetider. Forskellen mellem lånescenarierne skyldes hovedsageligt forskellen i renteudgifterne på forskellige lånesegmenter. Disse forskelle fremkommer, fordi rentekurven normalt er stigende.

Det fremgår af tabel 10.4.2, at lånestrategien med den korteste låntagning giver de laveste forventede omkostninger, men til gengæld den højeste renterisiko.

Tabel 10.4.2 Udvalgte car-tal

Mia.kr.	2001	2002	2005	2010
Middelværdi
Grundscenario	41,2	40,2	34,9	27,3
50-0-50 pct. lånevifte	41,2	40,1	34,4	26,0
100 pct. 2-årige	41,2	39,9	31,7	17,3
100 pct. 10-årige	41,3	40,3	37,0	31,2
Relativ CaR
Grundscenario	2,3	4,9	8,1	8,3
50-0-50 pct. lånevifte	2,3	5,0	8,2	7,6
100 pct. 2-årige	2,5	5,6	11,0	13,1
100 pct. 10-årige	2,1	4,3	6,0	6,5

Af figur 10.4.2 fremgår sammenhængen mellem de forventede omkostninger og relativ CaR for 2005 for de fire lånestrategier. Det ses, at omkostningerne ikke kan reduceres, uden at risikoen øges. Sammenhængen mellem de forventede omkostninger og relativ CaR i 2005 kan approksimeres lineært. Relativ CaR stiger med ca. 1 mia.kr., når de forventede omkostninger reduceres med 1 mia.kr.

Figur 10.4.2 Sammenhæng mellem middelværdi og relativ CaR i 2005, mia.kr.

Figur 10.4.3 viser nogle udvalgte omkostningsfordelinger for grundscenariet i den betragtede periode. Det ses, at kurverne bliver fladere over tid. Dette afspejler usikkerheden om de fremtidige renter. Fladere kurver betyder, at sandsynligheden for at få omkostninger omkring middelværdien mindskes, mens sandsynligheden for at få mere ekstreme omkostninger øges.

Figur 10.4.3 Omkostningsfordelinger for grundscenariet

Det fremgår endvidere, at middelværdien – de forventede omkostninger – reduceres over tid. Årsagen er som nævnt de skønnede overskud på statens budget i den betragtede periode. Overskud på statens budget medfører lavere finansieringsbehov, hvilket fører til mindsket låntagning og dermed mindre renteudgifter over tid.

Renteinput og stress-test 10.5

CaR-beregningerne kræver en del input og antagelser om renter, finansieringsbehov mv. Ændringer i disse medfører ændringer i CaR-resultaterne. I det følgende beskrives modellens nuværende renteinput, og det sammenholdes med historiske renter. Endvidere belyses egenskaberne ved nogle af de mere ekstreme renteforløb.

Egenskaber ved de anvendte renter
De anvendte renter er genereret i CIR-modellen. Parametrene er estimeret på baggrund af historiske rentedata for perioden 1987-2000. Generering af fremtidige renter tager udgangspunkt i renteniveauet på beregningstidspunktet.

I figur 10.5.1 er vist formen af de generede rentekurver i 2005. Nulkuponrenterne i den gennemsnitlige rentekurve ligger fra 6 til 8 procentpoint. Det ses endvidere på fraktilerne, at de korte renter er meget mere volatile end de lange. Dvs. kort låntagning er billigere, men til gengæld vil udsvingene i de årlige omkostninger være større.

Figur 10.5.1 De genererede rentekurver

I tabel 10.5.1 sammenlignes de historiske rentekurver med de simulerede. Rentekurverne kategoriseres under to hovedtyper, normale kurver og inverse kurver.

Tabel 10.5.1 Formen af rentekurver

Rentekurvens type	Historiske rentekurver	Simulerede rentekurver
	Pct.
Normale kurver
Flade	0	3
Almindelige	26	34
Stejle	17	33
Pukkelryggede	33
Normale kurver i alt	76	70
Inverse kurver
Flade	0	0
Almindelige	2	8
Stejle	4	8
Pukkelryggede	18	14
Inverse kurver i alt	24	30
I alt	100	100

Anm.:

En normal (invers) kurve er monotont stigende (aftagende). En pukkelrygget kurve er ikke monotont stigende eller aftagende. En normal pukkelrygget kurve er defineret som først aftagende og derefter stigende. Den absolutte forskel mellem spot- og 10-årig rente er for henholdsvis en flad, almindelig og stejl kurve på <1, 1-4 og >4 procentpoint. De simulerede kurver er dannet ved CIR-processen, mens de empiriske kurver er estimeret via Nelson-Siegel-metoden. CIR-processen kan ikke generere normale pukkelryggede kurver.

Det fremgår af tabellen, at rentekurverne i de simulerede data udviser nogenlunde samme fordeling på henholdsvis normale og inverse kurver som i de historiske rentedata. Dvs. på det overordnede niveau stemmer CIR-modellen godt overens med empirien.

Sammenlignes kurverne på de findelte kategorier, ses det imidlertid, at pukkelryggede rentekurver udgør en stor del af de historiske rentedata. Det er derfor et problem ved CIR-modellen, at den genererer forholdsvis få rentekurver af denne type. Dette kan resultere i en fejlvurdering af risikoen i det korte segment.

Endvidere ses det af figur 10.5.1, at volatiliteten i de genererede lange renter er relativt lille i forhold til volatiliteten i de korte renter. Dette er i overensstemmelse med observerede data. I forhold til de observerede data undervurderer CIR-modellen imidlertid volatiliteten i de lange renter. Dette kan betyde, at risikoen på de lange segmenter undervurderes.

Ovenstående viser, at det er nødvendigt at arbejde videre med renteinputtet til CaR-beregningerne, herunder med alternative rentestrukturmodeller, fx fler-faktor-modeller.

Stress-test
I risikovurderingen anvendes 95 pct.-fraktilen af omkostningerne. I figur 10.5.2 er vist det spotrenteforløb, der resulterer i en renteomkostning svarende til 95 pct.-fraktilen i 2010. Til sammenligning er der også vist to andre spotrenteforløb. Det ene spotrenteforløb fører til 99 pct.-fraktilen i fordelingen for omkostningerne i 2010. Det andet er det spotrenteforløb, hvor de højeste spotrenter forekommer (stress-rentescenario).

Figur 10.5.2 Stress-rentescenarier for spotrenten

Det spotrenteforløb, der resulterer i 95 pct.-fraktilen i 2010, ligger omkring 5 pct. fra 2001 til 2007, hvorefter spotrenten stiger til 25 pct. mod slutningen af perioden. De to øvrige renteforløb udviser større volatilitet og ligger gennemsnitligt på et højere renteniveau. I tabel 10.5.2 svarer omkostningsforløbene til renteforløbene i figur 10.5.2.

Tabel 10.5.2 Omkostninger i stress-renteforløb, grundscenariet

Mia.kr.	2001	2002	2003	2005	2007	2008	2010
95 pct.-fraktil i 2010	40,9	39,9	38,6	31,6	36,3	35,5	35,6
99 pct.-fraktil i 2010	41,7	45,4	51,2	52,0	48,3	48,9	42,6
Stress-rentescenario	42,1	43,4	41,6	50,5	70,3	64,9	51,5

Den historiske renteudvikling i perioden 1987-2000 for henholdsvis spotrenten, den 2-årige og den 10-årige rente er vist i figur 10.5.3. Sammenlignes det historiske spotrenteforløb med de simulerede spotrenter vist i figur 10.5.2, ses det, at den historiske spotrente i en kort periode har været på niveau med de renter, der fremkommer i 95 pct.-fraktilens renteforløb.

Figur 10.5.3 Historiske nulkuponrenter, kvartalsvise observationer

Afslutning 10.6

Det er centralt i statsgældspolitikken at finde en passende afvejning af forventede omkostninger og risiko. CaR supplerer styringsmålene varighed og afdragsprofil på den indenlandske statsgæld og er især nyttig, fordi der sker en kvantificering af renterisikoen.

CaR-resultaterne peger i retning af, at risikoen på den indenlandske statsgæld med dens nuværende sammensætning er forholdsvis lav. Den primære årsag er, at gælden er jævnt fordelt på løbetider.

Fremadrettet arbejdes der med at inkludere effekten af opkøb i CaR-modellen og at udvikle forskellige typer af renteinput. Endvidere omfatter CaR-beregningerne i øjeblikket kun den indenlandske gæld. Det er hensigten, at CaR-modellen med tiden skal omfatte de øvrige dele af statsgælden.

Fodnoter

[1] Cox, J. C., Ingersoll, J. E. og Ross, S. A., 1985, A Theory of the Term Structure of Interest Rate, Econometrica, vol. 53, nr. 2, s. 385-407.

Forside -  Indhold -  Top/Bund -  Forrige/ Næste

Version 1.0 Februar 2001 Nationalbanken.
Udgivet af Danmarks Nationalbank Februar 2001, http://www.nationalbanken.dk