Rentemodeller til Cost-at-Risk-analyse

I styringen af renterisikoen på statsgælden analyseres udviklingen i de fremtidige renteomkostninger under forskellige antagelser om renteniveauet. Analyserne foretages i Cost-at-Risk-modellen på baggrund af simuleringer af renteudviklingen i en rentemodel.

Hidtil er enfaktor Cox-Ingersoll-Ross-modellen blevet benyttet til at danne rentescenarierne i Cost-at-Risk-modellen. På baggrund af en principalkomponentanalyse af udviklingen i den danske rentekurve er rentemodellen blevet udvidet til at omfatte to forklarende faktorer.

Udvidelsen øger modellens forklaringsgrad og muliggør den dekobling mellem korte og lange renter, der observeres historisk i flere perioder. Simulering af renteudviklingen i tofaktormodellen indikerer, at resultaterne er forholdsvist robuste over for valg af estimations­periode for en analysehorisont på 10 år.

10.1 RISIKOSTYRING OG RENTEMODELLER

I styringen af renterisikoen på statsgælden analyseres udviklingen i de fremtidige renteomkostninger under forskellige antagelser om renteniveauet. Analyserne foretages i Cost-at-Risk-modellen (CaR-modellen), der på baggrund af den nuværende gældsportefølje, Finansministeriets tekniske budgetfremskrivninger, en strategi for fremtidig låntagning og en skønnet renteudvikling simulerer renteomkostningerne på statsgælden.

I praksis benyttes rentemodeller til at danne renteinputtet til CaR. En rentemodel er en matematisk formulering af udviklingen i rentekurven. Rentekurven udtrykker sammenhængen mellem løbetiden og rente­niveauet på rentebærende fordringer, typisk statsobligationer.

Ved at benytte en rentemodel sikres, at et stort antal forskellige udviklinger i renten kan simuleres og tilknyttes en sandsynlighed. I hvert rentescenario kan renteomkostningerne på gældsporteføljen beregnes, og derved fås sandsynlighedsfordelinger omkring de fremtidige renteomkostninger. Risikomålet absolut CaR defineres ved 95 pct.-fraktilen i omkostningsfordelingen, mens middelværdien er et udtryk for de forventede omkostninger. Risikomålet relativ CaR defineres ved absolut CaR fratrukket middelværdien og er således et udtryk for den maksimale stigning i omkostningerne i forhold til middelværdien med 95 pct. sandsynlighed. På baggrund af statens risikotolerance kan risikomålene benyttes til at understøtte valget af varighedsmål, jf. kapitel 8.

10.2 KRITERIER FOR VALG AF RENTEMODELLER

Sandsynlighedsfordelingen omkring de fremtidige renteomkostninger bestemmes af den valgte rentemodel, og vurderingen af afvejning mellem omkostninger og risiko hænger derfor tæt sammen med modellens egenskaber.

Udviklingen i renteomkostningerne på statsgælden simuleres over en 10-årig horisont, og generelt udstedes statsobligationer med flere forskellige løbetider. Disse to forhold stiller krav til de anvendte rentemodeller, idet det er nødvendigt at modellere både langsigtsdynamikken i det generelle renteniveau og samvariationen mellem de enkelte rentesatser:

• Rentekurven skal svinge omkring et middelniveau (såkaldt mean reversion). Herved undgås en eksplosivt stigende eller faldende renteudvikling over tid.
• Modellen må ikke give anledning til negative renter.
• Rentekurven skal udelukke arbitragemuligheder. Herved udelukkes, at investor eller låntager kan sikre en risikofri gevinst.
• Usikkerheden, kaldet volatiliteten, i de enkelte løbetidssegmenter skal afspejle den historisk observerede usikkerhed.
• Samvariationen mellem renter med forskellige løbetider skal afspejle det historisk observerede mønster.
• Modellen skal være velkendt, dokumenteret og let at kommunikere.
• Modellen skal være håndterbar. Eksempelvis skal modellens parametre kunne estimeres, og rentekurverne skal kunne simuleres inden for rimelig tid.

Både den makroøkonomiske og finansielle litteratur indeholder et stort antal rentemodeller, der alle lever op til flere af ovenstående krav. Specielt er det ikke muligt at identificere en entydigt overlegen model, og ethvert valg af rentemodel vil være udtryk for en afvejning af forskellige hensyn. Nogle modeller har tiltalende teoretiske egenskaber, men er ikke brugbare i praksis. Omvendt vil de mest simple modeller ofte give et urealistisk billede af dynamikken i rentekurven.

Forskellige rentemodeller til brug ved simulering i CaR er tidligere blevet analyseret, jf. Statens låntagning og gæld 2001, kapitel 9.

Rentemodellering i CaR-modellen
Hidtil er den såkaldte enfaktor Cox-Ingersoll-Ross-model (CIR-modellen) blevet benyttet til at danne rentescenarierne i CaR-modellen. Enfaktor CIR-modellen tilhører klassen af affine rentestrukturmodeller, der karakteriseres ved, at nulkuponrenter for alle løbetider er affine funktioner^[1] af et antal beskrivende faktorer, jf. boks 10.1.

I enfaktormodellen udgøres den forklarende variabel af den helt korte rente. Denne antagelse medfører, at hele rentekurven er bestemt af den korte rente. Eksempelvis vil den 10-årige rente altid have et bestemt niveau, hvis den korte rente holdes uændret i modellen. Desuden er renter med forskellige løbetider perfekt korreleret.

I praksis observeres mange forskellige former for rentekurver ved samme niveau for den korte rente, og desuden er renter med forskellige løbetider ikke perfekt korreleret. Disse forhold peger i retning af, at det kan være nødvendigt at udvide modellen for bedre at være i stand til at genskabe empiriske karakteristika.

På baggrund af en principalkomponentanalyse af udviklingen i den danske rentekurve kan det konstateres, at variationen i renteniveauet kan forklares tilfredsstillende med to uafhængige faktorer, der kan identificeres som niveau og hældning, jf. boks 10.2. Derfor er enfaktor CIR-modellen udvidet til en model med to forklarende faktorer.

PRINCIPALKOMPONENTANALYSE AF DEN DANSKE RENTEKURVE	Boks 10.2
Principalkomponentanalyse er en statistisk metode, der kan benyttes til at forklare kovariansen i et flerdimensionalt system på baggrund af uafhængige faktorer.1 I forbindelse med rentemodellering udgøres det flerdimensionale system af nulkuponrenter for forskellig løbetider, dvs. et udsnit af rentekurven. Hvis de enkelte variabler i systemet er tæt korreleret, kan en stor del af variansen forklares på baggrund af relativt få uafhængige faktorer. Dette er netop tilfældet for renter med forskellig løbetid. En principalkomponentanalyse af udviklingen i den danske rentekurve fra 1987-2005 viser, at omkring 66 pct. af variansen kan forklares på baggrund af en faktor, mens to uafhængige faktorer forklarer omkring 88 pct. af variansen. Faktorernes indvirkning på renter med forskellige løbetider kan udledes i form af såkaldte "factor loadings", jf. figuren.
FACTOR LOADINGS FOR PRINCIPALKOMPONENTANALYSE AF DANSK RENTEKURVE, 1987-2005
Anm.: Analysen er udført på baggrund af ændringer i renteniveauet. Effekten ved et stød til faktorerne angiver påvirkningen fra faktoren af måned-måned ændringen i renteniveauet.
Den første principalkomponent påvirker i store træk renter med forskellige løbetider på samme måde og kan derfor tolkes som et parallelt stød til rentekurven. Dette indikerer, at komponenten er bestemmende for rentekurvens niveau. Den anden principalkomponent er bestemmende for rentekurvens hældning, da lange og korte renter påvirkes forskelligt.
1Se fx Golub, B.W. og Tilman. L.M., 2000, Risk Management Approaches for Fixed Income Markets. John Wiley & Sons. Inc.

Uden for klassen af affine rentestrukturmodeller er særligt de såkaldte forwardrentemodeller^[2] og markedsmodeller^[3] meget benyttede. Forwardrentemodeller er karakteriseret ved, at udviklingen i hele forwardkurven, snarere end blot den korte rente, specificeres. Markedsmodeller er nært beslægtede med forwardrentemodeller, men baseres på observerbare, diskret tilskrevne markedsrenter og ikke kontinuert tilskrevne renter. Begge modeltyper er karakteriseret ved, at volatilitetsstrukturen kan specificeres meget fleksibelt, og at dagens rentekurve kan genskabes eksakt i modellen. Disse to egenskaber er særligt vigtige ved prisfastsættelse af rentederivater, og specielt markedsmodellerne har vundet indpas i den finansielle sektor. Til brug for langsigtet simulering og risikostyring er forwardrente- og markedsmodeller dog mindre anvendelige, da de dels er relativt mindre velegnede til estimation på baggrund af historisk data og dels er vanskeligt implementerbare.

10.3 HISTORISK RENTEDYNAMIK I MODELLERNE

Indledningsvist undersøges en- og tofaktormodellens evne til at forklare den historiske renteudvikling i Danmark over en 18-årig periode. I begge modeller estimeres parametrene på baggrund af månedlige data for perioden 1987-2005, jf. boks 10.3, hvorefter udviklingen i de modelbaserede renter sammenholdes med de faktiske renter i perioden.

Begge modeller er i stand til at forklare udviklingen i den korte ende af rentekurven, her repræsenteret ved 6-månedersrenten, jf. figur 10.3.1. Da den forklarende faktor i enfaktormodellen er 3-måneders­renten, er det ikke overraskende, at den modelbaserede 6-måneders­rente stemmer overens med det faktiske renteniveau. Forskellen mellem 3- og 6-månedersrenten er generelt meget begrænset.

Tofaktormodellen estimeres, som nævnt, på baggrund af et tværsnit af rentekurven og ikke bare en enkelt rentesats. I modelleringen af den historiske udvikling i 6-månedersrenten giver dette ikke anledning til større forskelle relativt til enfaktormodellen.

Betragtes renter med længere løbetider, er det tydeligt, at enfaktormodellen over- eller undervurderer renteniveauet over længere perioder, jf. figur 10.3.2. Tofaktormodellen er derimod i stand til at modellere niveau og dynamik i både korte og lange renter.

Identifikation af de beskrivende faktorer
Årsagen til enfaktormodellens ringe forklaringsgrad i den lange ende af rentekurven er primært, at modellens eneste forklarende variabel definitorisk er sat lig den korte rente. I det omfang rentekurven for et givet niveau af den korte rente afviger fra "normalscenariet", vil modellen have meget svært ved at fange dette.

Tofaktormodellens forbedrede forklaringsgrad kan ved første øjekast tilskrives det øgede antal parametre i modellen. En nærmere analyse af dynamikken i modellerne fås ved at analysere faktorernes indflydelse på rentedannelsen. Faktorernes indvirkning på de enkelte renter defineres i modellerne på baggrund af factor loadings. Matematisk beregnes factor loadings som

hvilket svarer til ændringen i nulkuponrenten med løbetid t for en lille ændring i den i'te faktor, x_i. I modsætning til factor loadings fra principalkomponentanalysen præsenteret tidligere, der alene baseres på datasættets kovarians, afhænger de her definerede factor loadings af den valgte rentemodel.

Ved at afbillede factor loadings som funktion af løbetiden fås et indblik i rentedannelsen i modellerne, jf. figur 10.3.3.

I enfaktormodellen øges de korte renter én-til-én med positive stød til faktoren, og effekten er aftagende med løbetiden. Et positivt stød vil således altid øge det generelle renteniveau med en aftagende effekt over løbetider. Er rentekurvens form normal, dvs. stigende i restløbetiden, vil en fladere rentekurve i enfaktormodellen altid være sammenfaldende med en rentestigning, hvorimod en stejlere rentekurve altid vil være sammenfaldende med rentefald. Som tidligere nævnt kan de lange renter derved ikke ændres i enfaktormodellen, hvis ikke også den korte rente ændres.

I tofaktormodellen påvirker et stød til den ene faktor alle renter med en svagt tiltagende effekt over løbetider. Den anden faktor aftager derimod kraftigt over løbetider og har således primært indflydelse på renter med kortere løbetider. Specielt kan faktor 1 identificeres med niveau og faktor 2 med hældning, hvilket netop var tilfældet i den modeluafhængige principalkomponentanalyse. At niveau og hældning kan styres uafhængigt, er den primære årsag til tofaktormodellens øgede fleksibilitet og højere forklaringsgrad.

Den øgede fleksibilitet i tofaktormodellen fremgår tydeligt omkring valutakrisen i 1992, hvor de korte renter steg betragteligt, mens de lange renter var stort set upåvirkede. I tofaktormodellen øges niveauet for de korte renter gennem en stigning i hældningsfaktoren, jf. figur 10.3.4. De lange renter påvirkes også, men i langt mindre grad, og effekten neutraliseres gennem et mindre fald i niveaufaktoren, jf. figur 10.3.5.

Sammenfattende ses, at tofaktormodellen muliggør den dekobling mellem korte og lange renter, der observeres historisk i flere perioder. Da rentekurvens form har betydning for trade-off'et mellem lang og kort låntagning, er det hensigtsmæssigt, at den anvendte rentemodel ikke på forhånd specificerer en entydig sammenhæng mellem ændringer i korte og lange renter.

Modellering af gennemsnitsrenter, fraktiler og korrelationer
En yderligere undersøgelse af modellernes evne til at forklare rentekurvens empiriske karakteristika kan foretages ved at sammenholde deskriptive statistiske størrelser for de modelbaserede og empiriske rentekurver.

I enfaktormodellen undervurderes gennemsnitsrenteniveauet med omkring 70-120 basispoint for perioden 1987-2005, mens volatiliteten i renteniveauet overvurderes for kortere løbetider og undervurderes for længere løbetider, jf. figur 10.3.6. Volatiliteten i renterne er repræsenteret ved 5 pct.-fraktilerne for rentekurven, der angiver den øvre og nedre grænse for et konfidensbånd, hvor rentekurven vil ligge med 90 pct. sandsynlighed.^[4] Højere volatilitet medfører, alt andet lige, større udsving i renterne og dermed et bredere konfidensbånd.

Den ekstra faktor i tofaktormodellen giver anledning til en væsentligt bedre overensstemmelse mellem de modelbaserede og empiriske fraktiler, om end modellen konsekvent overvurderer 95 pct.-fraktilen (båndets øvre grænse) med omkring 60 basispoint. Middelrentekurven i tofaktormodellen er sammenfaldende med den empirisk observerede gennemsnitsrentekurve.

På tilsvarende vis kan korrelationsstrukturen i data analyseres. Der tages udgangspunkt i 6-måneders renten, hvorefter korrelationen mellem denne rentesats og renter med længere løbetider beregnes på baggrund af data og de to modeller, jf. figur 10.3.7.

I enfaktormodellen er korrelationen på tværs af løbetider definitorisk lig 1. Tofaktormodellen tillader en dekobling mellem de enkelte rentesatser, men for længere løbetider overvurderes korrelationen med omkring 7 pct. i forhold til den empiriske korrelationsstruktur. Den øgede fleksibilitet i tofaktormodellen tillader således en væsentligt bedre modellering af samvariationen mellem renter med forskellige løbetider, end tilfældet er i enfaktormodellen.

10.4 Estimationsperioder og simulering

Et af kriterierne bag de valgte rentemodeller er, at rentekurven svinger omkring et konstant middelrenteniveau. Det indebærer, at det langsigtede middelrenteniveau i modellen stort set svarer til det observerede gennemsnitsrenteniveau over estimationsperioden, jf. afsnittet ovenfor.

De ovenstående analyser er udført med baggrund i rentedata for perioden 1987-2005. Over denne periode er den 10-årige rente faldet jævnt fra omkring 12 pct. til omkring 3,5 pct. En kortere estimations­periode vil derfor give anledning til et lavere langsigtet middelrente­niveau i modellerne, jf. figur 10.4.1.

På tilsvarende vis reduceres standardafvigelsen omkring det langsigtede middelrenteniveau, når en kortere estimationsperiode benyttes, jf. figur 10.4.2.

Valget af estimationsperiode kan derfor have betydning for afvej­ningen mellem omkostninger og risiko i CaR. Eksempelvis kan en model, der estimeres på baggrund af en kortere estimationsperiode, give anledning til et lavere langsigtet middelrenteniveau og snævrere udsvingsbånd omkring dette niveau. Det rejser naturligt spørgsmålet om, hvilken estimationsperiode der bør benyttes i forbindelse med simulering i modellerne.

Simulering over en 10-årig horisont
I CaR-modellen simuleres renteniveauet 10 år frem i tiden, og modellernes egenskaber skal derfor sammenlignes inden for denne horisont. Det kan ikke på forhånd afgøres, hvorvidt en 10-årig analysehorisont vil give anledning til samme resultater som de langsigtede niveauer skitseret ovenfor.

Med henblik på at illustrere betydningen af den valgte estimations­periode for CaR-analyser foretaget i 2005, simuleres rentekurven 10 år frem på baggrund af rentekurven ultimo 2005, jf. figur 10.4.3.

I enfaktormodellen er der betydelige forskelle mellem middelrente­kurverne og særligt konfidensbåndene baseret på de to estimations­perioder. I tofaktormodellen afviger de forventede rentekurver og 90 pct. konfidensbånd med omkring 30-80 basispoint afhængigt af løbetid.

I forbindelse med de senere års CaR-analyser er enfaktormodellen, ud over at være blevet estimeret på historisk data, blevet delvist kalibreret til Finansministeriets renteskøn. Ved eksplicit at lægge begrænsninger på det forventede fremtidige renteniveau i modellen reduceres afhængigheden af den valgte estimationsperiode.^[5]

Den begrænsede størrelse af afvigelserne i tofaktormodellen indikerer, at resultaterne er relativt robuste over for valget af estimations­periode, hvis analysehorisonten begrænses til 10 år. I lyset af forskellen mellem middelrentekurverne og standardafvigelserne på langt sigt, kan dette resultat overraske. En nærmere analyse af parameterestimaterne afslører imidlertid, at den hastighed, hvormed niveaufaktoren bevæger sig mod sit middelniveau, k 1, halveres for perioden 1987-2005 relativt til 1997-2005. Da niveaufaktoren ligger på et meget lavt niveau i 2005, indebærer dette, at det højere renteniveau for perioden 1987-2005 først nås for meget lange analysehorisonter. Dermed bliver valget af estimationsperiode mindre væsentligt i tofaktormodellen.

Med udgangspunkt i et forsigtighedsprincip er det besluttet at benytte parametersættet fra perioden 1987-2005 ved analyser i CaR-modellen baseret på tofaktormodellen. Dette giver anledning til det højeste middelrenteniveau og den største volatilitet i renterne blandt de to estimationsperioder.

10.5 CaR-ANALYSE

I forbindelse med fastlæggelsen af varighedsbåndet for 2006 har Statsgældskontoret for første gang benyttet tofaktormodellen til at foretage CaR-simuleringer. Med henblik på at undersøge, hvorvidt risikobilledet for den valgte strategi ændres med introduktionen af den nye rente­model, er grundscenariet med en varighed på 3,0 år ± 0,5 år genberegnet på baggrund af enfaktormodellen, jf. figur 10.5.1.

De forventede renteomkostninger i 2007 er tæt sammenfaldende mellem de to modeller, mens omkostningsfordelingen baseret på tofaktormodellen er bredere end fordelingen baseret på enfaktormodellen. Dette indebærer, at sandsynligheden for at observere høje renteomkostninger er størst i tofaktormodellen. Derved vurderes den kortsigtede risiko i form af absolut CaR højere i tofaktormodellen end i enfaktormodellen.

På længere sigt, her repræsenteret ved 2010, er omkostningsforde­lingen baseret på tofaktormodellen forskudt mod venstre i forhold til fordelingen baseret på enfaktormodellen. Både de forventede renteomkostninger og absolut CaR reduceres relativt til simuleringer i enfaktormodellen.